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已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),f(1)=0,g(x)=ax+b.
(1)求证方程f(x)=g(x)有两个不同的实根;
(2)设方程f(x)=g(x)的两实根为x1,x2求|x1-x2|的取值范围.
考点:二次函数的性质
专题:函数的性质及应用
分析:(1)先判断出ac<0,再根据根的判别式求出△>0,从而证出结论;(2)先根据a,b,c的关系得到-2<
c
a
<-
1
2
,问题转化为求函数f(
c
a
)=(
c
a
)
2
-
4c
a
的最值问题即可.
解答: (1)证明:∵f(1)=0,∴a+b+c=0,
∵a>b>c,∴a>0,c<0,∴ac<0,
∵f(x)=g(x),
∴ax2+(b-a)x+(c-b)=0,
∴△=(b-a)2-4a(c-b)
=(a+b)2-4ac
=c2-4ac,
∵ac<0,
∴△>0,
∴方程f(x)=g(x)有两个不同的实根;
(2)解:∵a>b>c,a+b+c=0,b=-a-c,
∴a>0,c<0,a>-a-c>c,
∴-2<
c
a
<-
1
2

∵方程f(x)=g(x),
∴ax2+(b-a)x+(c-b)=0,
∴x1+x2=
a-b
a
,x1•x2=
c-b
a

(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1 x2
=(
a-b
a
)
2
-
4(c-b)
a

=(
2a+c
a
)
2
-
4(a+2c)
a

=(
c
a
+2)
2
-4(
2c
a
+1)
=(
c
a
)
2
-
4c
a

∵函数f(
c
a
)=(
c
a
)
2
-
4c
a
的对称轴是
c
a
=2,
∴函数f(
c
a
)在(-2,-
1
2
)单调递减,
∵f(-2)=12,f(-
1
2
)=
9
2

3
2
2
<x1-x2|<2
3
点评:本题考查了二次函数的性质,考查了转化思想,是一道中档题.
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