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    已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心.

    （1）求证：平面G1G2G3∥平面ABC；

    （2）求S△∶S△ABC.

    （1）证明略（2）S△∶S△ABC=1∶9


    解析:

    （1）  如图所示，连接PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F，连接DE、EF、FD，则有PG1∶PD=2∶3，

    PG2∶PE=2∶3，∴G1G2∥DE.

    又G1G2不在平面ABC内，

    ∴G1G2∥平面ABC.同理G2G3∥平面ABC.

    又因为G1G2∩G2G3=G2，

    ∴平面G1G2G3∥平面ABC.

    （2）  由（1）知=，∴G1G2=DE.

    又DE=AC，∴G1G2=AC.

    同理G2G3=AB，G1G3=BC.

    ∴△G1G2G3∽△CAB，其相似比为1∶3，

    ∴S△∶S△ABC=1∶9.

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    AP
    =
    1
    5
    AC
    +
    2
    5
    AB
    ，则△APB的面积与△PAC的面积之比为
    1
    2
    1
    2
    ．

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    C．②③④                   D．①②③④

     

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    A．内心           B．外心           C．垂心         D．重心

     

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