Question

（2012•湛江一模）若直线y=x是曲线y=x³-3x²+px的切线，则实数p的值为（　　）

• A．1
• B．0
• C．

  13

  4

• D．1或

  13

  4

Answer 1

分析：由直线与曲线相切，根据直线已知，即可得出切线斜率，即得出曲线的导数的方程，再设出切点坐标，利用切点在曲线上，又得到一个方程，两个方程联立求解即可．

解答：解：设切点P（x₀，x₀）
∵直线y=x是曲线y=x³-3x²+px的切线
∴切线的斜率为1，
∵y=x³-3x²+px，
∴y′︳_x=x0=3x²-6x+p _x=x0=3x₀²-6x₀+p，
根据切线的几何意义得：
3x₀²-6x₀+p=1①
∵点P在曲线上，
∴x₀³-3x₀²+px₀=x₀②
由①，②联立得

x0=0 3x 2 0 -6x0+p-1=0

③
或

x 2 0 -3x0+p-1=0 3 x 2 0 -6x0+p-1=0

④
由③得，p=1
由④得x₀²-3x₀=3x₀²-6x₀解得x₀=0或

3

2

，把x₀的值代入④中，得到p=1或

13

4

，
综上所述，p的值为1或

13

4

．
故选D．

点评：本题为直线与曲线相切的试题，此题比较好，设计的计算比较多，要细心才能算对，应熟练掌握方程联立的计算问题等．