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设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k=________.

解析:由,得k=4.

答案:4

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科目:高中数学 来源: 题型:

1、设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k=(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

u
=(-2,2,5),
v
=(6,-4,4)分别是平面α,β的法向量,则平面α与β的
夹角为(  )

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科目:高中数学 来源:2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(天津卷解析版) 题型:解答题

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.

(Ⅰ)证明PC⊥AD;

(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;

(Ⅲ)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.

 

【解析】解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).

(1)证明:易得于是,所以

(2) ,设平面PCD的法向量

,即.不防设,可得.可取平面PAC的法向量于是从而.

所以二面角A-PC-D的正弦值为.

(3)设点E的坐标为(0,0,h),其中,由此得.

,故 

所以,,解得,即.

解法二:(1)证明:由,可得,又由,,故.又,所以.

(2)如图,作于点H,连接DH.由,,可得.

因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,

因此所以二面角的正弦值为.

(3)如图,因为,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,设交点为F,连接BE,EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,

中,由,,

可得.由余弦定理,,

所以.

 

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年山东省高三下学期模拟预测理科数学试卷(解析版) 题型:解答题

在四棱锥中,平面,底面为矩形,.

(Ⅰ)当时,求证:

(Ⅱ)若边上有且只有一个点,使得,求此时二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时,底面ABCD为正方形,

又因为,………………2分

,得证。

第二问,建立空间直角坐标系,则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

设BQ=m,则Q(1,m,0)(0《m《a》

要使,只要

所以,即………6分

由此可知时,存在点Q使得

当且仅当m=a-m,即m=a/2时,BC边上有且只有一个点Q,使得

由此知道a=2,  设平面POQ的法向量为

,所以    平面PAD的法向量

的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值为

解:(Ⅰ)当时,底面ABCD为正方形,

又因为,………………3分

(Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直,分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系,如图所示,

则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

设BQ=m,则Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要

所以,即………6分

由此可知时,存在点Q使得

当且仅当m=a-m,即m=a/2时,BC边上有且只有一个点Q,使得由此知道a=2,

设平面POQ的法向量为

,所以    平面PAD的法向量

的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值为

 

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科目:高中数学 来源:2013届山西省晋商四校高二下学期联考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知直三棱柱中, , , 的交点, 若.

(1)求的长;  (2)求点到平面的距离;

(3)求二面角的平面角的正弦值的大小.

【解析】本试题主要考查了距离和角的求解运用。第一问中,利用ACCA为正方形, AC=3

第二问中,利用面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD=,第三问中,利用三垂线定理作二面角的平面角,然后利用直角三角形求解得到其正弦值为

解法一: (1)连AC交AC于E, 易证ACCA为正方形, AC=3 ……………  5分

(2)在面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD= … 8分

(3) 易得AC面ACB, 过E作EHAB于H, 连HC, 则HCAB

CHE为二面角C-AB-C的平面角. ………  9分

sinCHE=二面角C-AB-C的平面角的正弦大小为 ……… 12分

解法二: (1)分别以直线CB、CC、CA为x、y为轴建立空间直角坐标系, 设|CA|=h, 则C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, -3, 0), C(0, -3, 0), A(0, 0, h), A(0, -3, h), G(2, -, -) ………………………  3分

=(2, -, -), =(0, -3, -h)  ……… 4分

·=0,  h=3

(2)设平面ABC得法向量=(a, b, c),则可求得=(3, 4, 0) (令a=3)

点A到平面ABC的距离为H=||=……… 8分

(3) 设平面ABC的法向量为=(x, y, z),则可求得=(0, 1, 1) (令z=1)

二面角C-AB-C的大小满足cos== ………  11分

二面角C-AB-C的平面角的正弦大小为

 

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