【题目】已知函数,.
(1)若有零点,求的取值范围;
(2)讨论的根的情况.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
(1)作出函数和的图象,利用数形结合思想得出当两个函数有交点时,求出实数的取值范围;
(2)作出函数和在上的图象,根据两函数图象的顶点的高低得出方程的根的个数.
(1)作出函数和的图象如下图所示,
由于双勾函数在上单调递减,在上单调递增,
当时,函数在处取得最小值,即,
由图象可知,当时,直线与函数的图象有交点.
因此,实数的取值范围是;
(2)二次函数的图象开口向下,对称轴为直线,
则该函数在上单调递增,在上单调递减,所以,.
作出函数和在上的图象如下图所示:
由图象可知,当时,两个函数没有交点,方程在无实根;
当时,两个函数只有一个交点,方程在只有一根;
当时,两个函数有两个交点,方程在有两实根.
综上所述,当时,方程无实根;当时,方程只有一根;当时,方程有两根.
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【题目】已知椭圆:过点和点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于不同的两点, ,是否存在实数,使得?若存在,求出实数;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在四面体中,分别为的中点,过任作一个平面分别与直线相交于点,则下列结论正确的是___________.①对于任意的平面,都有直线,,相交于同一点;②存在一个平面,使得点在线段上,点在线段的延长线上; ③对于任意的平面,都有;④对于任意的平面,当在线段上时,几何体的体积是一个定值.
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【题目】(本大题满分12分)
随着互联网的快速发展,基于互联网的共享单车应运而生,某市场研究人员为了了解共享单车运营公司的经营状况,对该公司最近六个月的市场占有率进行了统计,并绘制了相应的折线图:
(Ⅰ)由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合月度市场占有率与月份代码之间的关系,求关于的线性回归方程,并预测公司2017年4月的市场占有率;
(Ⅱ)为进一步扩大市场,公司拟再采购一批单车,现有采购成本分别为元/辆和1200元/辆的、两款车型可供选择,按规定每辆单车最多使用4年,但由于多种原因(如骑行频率等)会导致单车使用寿命各不相同,考虑到公司运营的经济效益,该公司决定先对这两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试,得到两款单车使用寿命的频数表如下:
经测算,平均每辆单车每年可以带来收入500元,不考虑除采购成本之外的其他成本,假设每辆单车的使用寿命都是整数年,且以频率作为每辆单车使用寿命的概率,如果你是公司的负责人,以每辆单车产生利润的期望值为决策依据,你会选择采购哪款车型?
参考公式:回归直线方程为,其中,.
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【题目】如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为,一双曲线的顶点是该椭圆的焦点,且它的实轴长等于虚轴长,设为该双曲线上异于顶点的任一点,直线和与椭圆的交点分别为和,其中在轴的同一侧.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)是否存在题设中的点,使得?若存在, 求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=x+,且此函数的图象过点(1,5).
(1)求实数m的值并判断f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)在[2,+∞)上的单调性,证明你的结论.
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