Question

已知抛物线C：y²=8x，O为坐标原点，动直线l：y=k（x+2）与抛物线C交于不同两点A，B
（1）求证：

OA

•

OB

为常数；
（2）求满足

OM

=

OA

+

OB

的点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）把直线方程与抛物线方程联立得到根与系数的关系，利用向量的数量积运算即可证明；
（2）利用向量的运算可得点M关于k的参数方程，消去参数并求出范围即可得出点M的轨迹方程．

解答：解：将y=k（x+2）代入y²=8x，整理得k²x²+（4k²-8）x+4k²=0，
∵动直线l与抛物线C交于不同两点A、B，
∴k≠0且△＞0，即

k≠0 (4k2-8)2-16k4＞0

解得：-1＜k＜1且k≠0．
设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），则x1+x2=

8

k2

-4， x1x2=4．
（1）证明：

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1+2)(x2+2)
=(k2+1)x1x2+2k2(x1+x2)+4k2=4(k2+1)+2k2(

8

k2

-4)+4k2=20，
∴

OA

•

OB

为常数．
（2）解：

OM

=

OA

+

OB

=(x1，y1)+(x2，y2)=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（x₁+x₂，k（x₁+x₂+4））=(

8

k2

-4，

8

k

)．
设M（x，y），则

x= 8 k2 -4 y= 8 k

消去k得：y²=8x+32．
又由-1＜k＜1且k≠0得：0＜k²＜1，

1

k2

＞1，∴x=

8

k2

-4＞4，
∴点M的轨迹方程为y²=8x+32（x＞4）

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的数量积运算、向量的运算、直线的参数方程等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．