Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M在棱AB上，AM=，点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A₁D₁的距离与点P到M的距离的平方差为，则P点的轨迹是    ．

Answer 1

【答案】分析：以A为原点，AB、AA₁分别为y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，得M（0，，0）．设P（x，y，0），用空间两点的距离公式，结合题意列出关于x、y的方程，化简整理得抛物线方程：x²=y，即得本题的答案．
解答：解：以A为原点，AB、AA₁分别为y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系
则M（0，，0），设P（x，y，0），
设PR⊥A₁D₁于R，则PR是点P到直线A₁D₁的距离
PR²=y²+1，PM²=x²+（y-）²，
由题意，得PR²-PM²=y²+1-[x²+（y-）²]=
化简，得x²=y，
故P的轨迹是以A为顶点，AB为轴的抛物线
故答案为：抛物线
点评：本题在正方体中给出动点到定直线距离与到定点距离平方差为定值，着重考查了空间两点间的距离公式和曲线与方程等知识，属于中档题．