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【题目】已知点A(2,8),B(x1 , y1),C(x2 , y2)在抛物线 上,△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合(如图)

(1)写出该抛物线的方程和焦点F的坐标;
(2)求线段BC中点M的坐标;
(3)求BC所在直线的方程.

【答案】
(1)

【解答】由点A(2,8)在抛物线y2=2px 上,有 ,解得p=16.所以抛物线方程为y2=32x ,焦点F的坐标为(8,0).


(2)

【解答】如图,由于F(8,0)是△ABC的重心,M是BC的中点,所以F是线段AM的定比分点,且 ,设点M的坐标为 ,则 ,解得 x0=11,y0=-4 ,

所以点M的坐标为(11,-4).


(3)

【解答】由于线段BC的中点M不在x轴上,所以BC所在的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为:

x得ky2-32y-32(11k+4)=0 ,

所以 ,由(2)的结论得 ,解得k=-4,

因此BC所在直线的方程为:4x+y-40=0 。


【解析】(1)由点A在抛物线上,将A点坐标代入,求出参数P,求解即可(2)由于F(8,0)是△ABC的重心,则重心与焦点重合,由重心坐标公式可求M是BC的中点。(3)由于线段BC的中点M不在x轴上,所以BC所在的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为: ,解出k即可。

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