【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),F为左焦点,原点O到直线FA的距离为 b.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设b=2,直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M,N,求证:直线BM与直线AN的交点G在定直线上.
【答案】
(1)解:设F的坐标为(﹣c,0),依题意有bc= ab,
∴椭圆C的离心率e= = .
(2)解:若b=2,由(1)得a=2 ,∴椭圆方程为 .
联立方程组
化简得:(2k2+1)x2+16kx+24=0,
由△=32(2k2﹣3)>0,解得:k2>
由韦达定理得:xM+xN= …①,xMxN= …②
设M(xM,kxM+4),N(xN,kxN+4),
MB方程为:y= x﹣2,…③
NA方程为:y= x+2,…④
由③④解得:y=
= = =1
即yG=1,
∴直线BM与直线AN的交点G在定直线上
【解析】(1)设F的坐标为(﹣c,0),原点O到直线FA的距离为 b,列出方程,即可求解椭圆的离心率.(2)求出椭圆方程,联立方程组 ,通过韦达定理,设M(xM , kxM+4),N(xN , kxN+4),
求出MB方程,NA方程,求出交点坐标,推出结果.
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程,掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:即可以解答此题.
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【题目】将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(1)写出C的参数方程;
(2)设直线l:2x+y﹣2=0与C的交点为P1 , P2 , 以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
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【题目】为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加. 现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”求事件发生的概率
(2)设为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量的分布列和数学期望
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【题目】(2015·陕西)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .
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【题目】已知点P(﹣1,4)及圆C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1.则下列判断正确的序号为 .
①点P在圆C内部;
②过点P做直线l,若l将圆C平分,则l的方程为x+3y﹣11=0;
③过点P做直线l与圆C相切,则l的方程为y﹣4=0或3x+4y﹣13=0;
④一束光线从点P出发,经x轴反射到圆C上的最短路程为 .
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【题目】已知m,n是两条不同直线,,是两个不同平面,则下列命题正确的是
A.若,垂直于同一平面,则与平行
B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行
C.若,不平行,则在内不存在与平行的直线
D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
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【题目】已知双曲线 右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥FB,设∠ABF=θ且 ,则双曲线离心率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.(2,+∞)
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