Question

10．对于实数x和y，定义运算?：x?y=x（1-y），若对任意x＞1，不等式（x-m）?x≤1都成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [-1，3]
• B． （-∞，3]
• C． （-∞，-1]∪[3，+∞）
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 由题意可得当x＞1时，f（x）=（x-m）（x-1）+1的最小值大于或等于0，再利用二次函数的性质、分类讨论求得实数m的取值范围．

解答 解：由题意可得当x＞1时，不等式（x-m）?x=（x-m）（1-x）≤1 恒成立，
即（x-m）（x-1）+1≥0 恒成立，故函数f（x）=（x-m）（x-1）+1=x²-（m+1）x+m+1 的最小值大于或等于0．
由于函数y的对称轴为x=$\frac{m+1}{2}$，
当$\frac{m+1}{2}$≥1时，即m≥1时，f（x）的最小值为$\frac{4（m+1）{-（m+1）}^{2}}{4}$≥0，求得1≤m≤3．
当$\frac{m+1}{2}$＜1时，即m＜1时，f（x）的最小值为f（1）=1＞0．
综上可得，实数m的取值范围是（-∞，3]，
故选：B．

点评 本题主要考查新定义，分式不等式、一元二次不等式的解法，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．