Question

已知二次函数r（x）=x²+ax+b（a，b为常数，a∈R，b∈R）的一个零点是-a，函数g（x）=lnx，e是自然对数的底数．设函数f（x）=r（x）-g（x）．
（Ⅰ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明切点的横坐标为1；
（Ⅱ）令F（x）=

f(x)

ex

，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由题意可得a²+a（-a）+b=0，从而求b=0；再化简f（x）=x²+ax-lnx，从而求导f′（x）=2x+a-

1

x

，（x＞0），再结合导数的几何意义求解证明；
（Ⅱ）化简F（x）=

f(x)

ex

=

x2+ax-lnx

ex

，求导F′（x）=

-x2+(2-a)x+a- 1 x +lnx

ex

，再令h（x）=-x²+（2-a）x+a-

1

x

+lnx，从而由导数的正负确定函数的正负，进而确定F′（x）的正负，从而确定F（x）的单调性，从而求解．

解答： 解：（Ⅰ）证明：∵-a是二次函数r（x）=x²+ax+b的一个零点，
∴a²+a（-a）+b=0，
∴b=0．
∴f（x）=r（x）-g（x）=x²+ax-lnx；
∴f′（x）=2x+a-

1

x

，（x＞0），
设切点为P（m，f（m）），
则切线的斜率k=2m+a-

1

m

=

m2+am-lnm

m

，
整理得m²+lnm-1=0，
显然，m=1是这个方程的解；
又因为y=m²+lnm-1在（0，+∞）上是增函数，
所以方程m²+lnm-1=0有唯一实数解．
故m=1．
（Ⅱ）F（x）=

f(x)

ex

=

x2+ax-lnx

ex

，
F′（x）=

-x2+(2-a)x+a- 1 x +lnx

ex

，
设h（x）=-x²+（2-a）x+a-

1

x

+lnx，
则h′（x）=-2x+

1

x2

+

1

x

+2-a．
易知h′（x）在（0，1]上是减函数，
从而h′（x）≥h′（1）=2-a；
（1）当2-a≥0，即a≤2时，h′（x）≥0，h（x）在区间（0，1]上是增函数．
∴h（x）≤h（1）=0，
即F′（x）≤0在（0，1]上恒成立．
∴F（x）在区间（0，1]上是减函数．
所以，a≤2满足题意．
（2）当2-a＜0，即a＞2时，设函数h′（x）的唯一零点为x₀，
则h（x）在（0，x₀）上递增，在（x₀，1）上递减．
又∵h（1）=0；∴h（x₀）＞0；
且当x→0时，h（x）→-∞；
∴h（x）在（0，1）内有唯一一个零点x′，
从而F（x）在（0，x′）递减，在（x′，1）递增，
与在区间（0，1]上是单调函数矛盾．
∴a＞2不合题意．
综合（1）（2）得，a≤2．即a的取值范围是（-∞，2]．

点评：本题考查了导数的综合应用与恒成立问题，同时考查了构造函数确定函数的单调性的方法应用，化简讨论都比较困难，属于难题．