【题目】 已知函数(a为常数).
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)单调增区间为,单调减区间为和.(2)
【解析】试题分析:(1)先确定函数定义域,再求导函数,进而求定义区间上导函数的零点,最后列表分析导函数符号并确定单调区间:增区间为,,减区间为和.(2)不等式恒成立问题,一般转化为对应函数最值问题: ,再利用导数研究函数单调性,确定当时有最大值为,即得实数的取值范围.
试题解析:解:(Ⅰ)函数的定义域为,
当时, ,
,
由得, ,
由得, 或,
∴函数的单调增区间为,
单调减区间为和.
(Ⅱ)当时, 恒成立,
令,
问题转换为时, .
,
①当时, ,
在上单调递增,
此时无最大值,故不合题意.
②当时,令解得, ,
此时在上单调递增,
此时无最大值,故不合题意.
③当时,令解得, ,
当时, ,
而在上单调递增,在上单调递减,
,
令, ,
则,
在上单调递增,
又,
当时, ,
在上小于或等于不恒成立,即不恒成立,
故不合题意.
当时, ,
而此时在上单调递减,
,符合题意.
综上可知,实数的取值范围是.
(也可用洛必达法则)
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程;
(2)已知与直线平行的直线过点,且与曲线交于两点,试求.
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【题目】从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:
质量指标值分组 | [75,85) | [85,95) | [95,105) | [105,115) | [115,125) |
频数 | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
(1)作出这些数据的频率分布直方图;
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定?
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【题目】某中学拟在高一下学期开设游泳选修课,为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关,该学校对100名高一新生进行了问卷调查,得到如下列联表:
喜欢游泳 | 不喜欢游泳 | 合计 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 20 | ||
合计 |
已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为.
(1)请将上述列联表补充完整;
(2)并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关?并说明你的理由;
(3)已知在被调查的学生中有5名来自甲班,其中3名喜欢游泳,现从这5名学生中随机抽取2人,求恰好有1人喜欢游泳的概率.
下面的临界值表仅供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中)
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【题目】已知是函数图象上的点,是双曲线在第四象限这一分支上的动点,过点作直线,使其与双曲线只有一个公共点,且与轴、轴分别交于点、,另一条直线与轴、轴分别交于点、.
则(1)为坐标原点,三角形的面积为__________.
(2)四边形面积的最小值为__________.
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【题目】某次数学考试试题中共有道选择题,每道选择题都有个选项,其中仅有一个是正确的.评分标准规定:“每题只选项,答对得分,不答或答错得分.”某考生每道题都给了一个答案,已确定有道题的答案是正确的,而其余题中,有两道题都可判断出两个选项是错误的有一道题可以判断一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只能乱猜,试求出该考生:
(Ⅰ)得分的概率;
(Ⅱ)所得分数的数学期望.
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【题目】函数g(x)=f(x)+2x,x∈R为奇函数.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)若x>0时,f(x)=log3x,求函数g(x)的解析式.
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【题目】设各项均为正数的数列的前项和为,满足,且,公比大于1的等比数列满足, .
(1)求证数列是等差数列,并求其通项公式;
(2)若,求数列的前项和;
(3)在(2)的条件下,若对一切正整数恒成立,求实数的取值
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