Question

已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点A（0，2

3

），离心率为

1

2

（1）求椭圆P的方程；
（2）是否存在过点E（0，-4）的直线l交椭圆P于点R，T，且满足

OR

•

OT

=

16

7

．若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设椭圆P的方程为

x2

a2

+

y2

b2

═1 （a＞b＞0），由椭圆经过点A（0，2

3

），离心率为

1

2

，求得a和b的值，
从而求得椭圆P的方程．
（2）由

y=kx-4 x2 16 + y2 12 = 1

 可得  x₁+x₂ 和x₁•x₂ 的值，可得y₁•y₂的值，根据

OR

•

OT

=

16

7

，求出k=±1，
从而得到直线l的方程．

解答：解：（1）设椭圆P的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），由题意得b=2

3

，

c

a

=

1

2

，
∴a=2c，b²=a²-c²=3c²，∴c=2，a=4，∴椭圆P的方程为：

x2

16

 +

y2

12

= 1．
（2）假设存在满足题意的直线L．易知当直线的斜率不存在时，

OR

•

OT

＜0，不满足题意．
故设直线L的斜率为k，R（x₁，y₁），T（x₂，y₂ ）．∵

OR

•

OT

=

16

7

，∴x₁•x₂+y₁•y₂=

16

7

，
由

y=kx-4 x2 16 + y2 12 = 1

 可得 （3+4k² ）x²-32kx+16=0，由△=（-32k）²-4（3+4k²）•16＞0，
解得 k²＞

1

4

  ①．
∴x₁+x₂=

32k

3+ 4k2

，x₁•x₂=

16

3+ 4k2

，
∴y₁•y₂=（kx₁-4 ）（kx₂-4）=k² x₁•x₂-4k（x₁+x₂）+16，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=

16

3+ 4k2

+

16k2

3+ 4k2

-

128k2

3+ 4k2

+16=

16

7

，∴k²=1  ②，
由①、②解得 k=±1，∴直线l的方程为 y=±x-4，
故存在直线l：x+y+4=0，或 x-y-4=0，满足题意．

点评：本题考查求椭圆的标准方程的方法，直线和圆锥曲线的位置关系，两个向量的数量积公式，求出x₁•x₂和y₁•y₂ 的值，是解题的关键．