【题目】已知向量,,
(1)求函数的最小正周期及取得最大值时对应的x的值;
(2)在锐角三角形ABC中,角A、B、C的对边为a、b、c,若,求三角形ABC面积的最大值并说明此时该三角形的形状.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是平行四边形, ,侧面底面, , , , 分别为, 的中点,点在线段上.
(1)求证: 平面;
(2)如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等,求的值.
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)若,证明:函数在上单调递减;
(Ⅱ)是否存在实数,使得函数在内存在两个极值点?若存在,求实数的取值范围;若不存在,请说明理由. (参考数据: , )
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【题目】心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表:(单位:人)
几何题 | 代数题 | 总计 | |
男同学 | 22 | 8 | 30 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
(Ⅰ)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空军能力与性别有关?
(Ⅱ)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟,乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.
(Ⅲ)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生被抽到的人数为,求的分布列及数学期望.
附表及公式
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】围建一个面积为360的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为(单位:),修建此矩形场地围墙的总费用为(单位:元)
(1)将表示为的函数;
(2)试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。
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【题目】某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品,为了检测两套设备的生产质量情况,随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在内,则为合格品,否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表,图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.
表1:甲套设备的样本的频数分布表
质量指标值 | [95,100) | [100,105) | [105,110) | [110,115) | [115,120) | [120,125] |
频数 | 1 | 5 | 18 | 19 | 6 | 1 |
图1:乙套设备的样本的频率分布直方图
(Ⅰ)将频率视为概率. 若乙套设备生产了5000件产品,则其中的不合格品约有多少件;
(Ⅱ)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关;
甲套设备 | 乙套设备 | 合计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合计 |
(Ⅲ)根据表1和图1,对两套设备的优劣进行比较.
附:
.
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【题目】已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1,x2,设m=,n=,现有如下命题:
①对于任意不相等的实数x1,x2,都有m>0;
②对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n>0;
③对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=n;
④对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=-n.
其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).
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