Question

13．已知函数y=$\frac{1}{2}$cos²x+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sinxcosx+1，x∈R．
（1）求它的振幅、周期和初相；
（2）求函数的最大值，最小值以及取得最大最小值时的x的取值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解振幅、周期和初相．
（2）利用正弦函数的最值，直接求解即可．

解答 解：y=$\frac{1}{2}$cos²x+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sinxcosx+1=$\frac{1}{4}$cos2x+$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$sin2x+$\frac{5}{4}$…（2分）
=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$…（4分）
（1）函数的振幅为A=$\frac{1}{2}$，周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，初相为φ=$\frac{π}{6}$…（8分）
（2）函数的最大值是$\frac{1}{2}$+$\frac{5}{4}$=$\frac{7}{4}$，此时2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，x=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z…（10分）
函数的最小值是$-\frac{1}{2}$+$\frac{5}{4}$=$\frac{3}{4}$，此时2x+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{2}$+2kπ，x=$-\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z…（12分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的简单性质的应用，是中档题．