Question

【题目】已知函数 ，其中a，b，c∈R．
（Ⅰ）若a=b=1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=0，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）若a＞0，b=0，若f（x）存在两个极值点x1 ， x2 ， 求证；f（x1）+f（x2）＜e．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，
f'（x）＞0x＞1或x＜0，f'（x）＜00＜x＜1，
∴f（x）增区间为（﹣∞，0），（1，+∞），减区间为（0，1）．
（Ⅱ） 在[0，+∞）恒成立b≥0
当b≥0时，f（x）≥1ex﹣bx﹣1≥0．设g（x）=ex﹣bx﹣1，g'（x）=ex﹣b
①当0≤b≤1时，g'（x）≥0g（x）在[0，+∞）单调递增，g（x）≥g（0）=0成立
②当b＞1时，g'（x）=0x=lnb，当x∈（0，lnb）时，
g'（x）＜0g（x）在（0，lnb）单调递减，g（x）＜g（0）=0，不成立
综上，0≤b≤1
（Ⅲ）
有条件知x1 ， x2为ax2﹣2ax+1=0两根， ，
且 ，
由 成立，
作差得： ，
得 ∴f（x1）+f（x2）＜e….12
或由x1+x2=2， ，（可不妨设0＜x1＜1）
设 （0＜x＜1），
在（0，1）单调递增，
h（x）＜h（1）=e，
∴f（x1）+f（x2）＜e成立．
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为bx+1≥0在[0，+∞）恒成立，通过讨论b的范围集合函数的单调性从而求出b的范围即可；（Ⅲ）求出函数的导数，构造新的函数，根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．