Question

在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在线段AC，AD=kAC（k为常数，且0＜k＜1），BD=l为定长，则△ABC的面积最大值为（　　）

• A、

  l2

  1-k2

• B、

  l

  1-k2

• C、

  l2

  2(1-k2)

• D、

  l

  2(1-k2)

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：判断出AB=AC，以B为原点、BD为x轴建立平面直角坐标系，设A（x，y），y＞0，根据题意得到AD=kAC，利用两点间的距离公式列出关系式，化简后表示出y²，利用二次函数的性质求出y的最大值，求出△ABD面积的最大值，由AD=kAC得出△ABC面积的最大值．

解答： 解：由题意得AB=AC，
如图所示，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，设A（x，y），y＞0，
∵AB=AC，BD=l，∴D（l，0），
由AD=kAC=kAB得，AD²=k²AB²，
∴（x-l）²+y²=k²（x²+y²），
整理得：y²=

-(l-k2)x2+2lx-l2

1-k2

，
当x=-

2l

-2(1-k2)

=

l

1-k2

时，
y²=

-(l-k2)x2+2lx-l2

1-k2

取到最大值是：

k2l2

(1-k2)2

，
∴y的最大值是

kl

1-k2

，
∵BD=l，∴（S_△ABD）_max=

1

2

×BD×y=

kl2

2(1-k2)

，
∵AD=kAC，∴（S_△ABC）_max=

1

k

（S_△ABD）_max=

l2

2(1-k2)

，
所以△ABC的面积最大值为

l2

2(1-k2)

，
故选：C．

点评：本题考查坐标法解决平面几何问题，两点间的距离公式，及二次函数的性质，建立适当的坐标系是解本题的关键．