Question

|

a

|=|

b

|=1，＜

a

，

b

＞=

π

3

，且（

a

+

c

）（

b

+

c

）=

1

2

，则|

c

|取值范围（　　）

• A．[-

  3

  ，

  3

  ]
• B．[0，

  3

  ]
• C．（0，

  3

  ]
• D．[0，

  2

  ]

Answer 1

分析：利用向量的数量积公式和向量加法的三角形法则得到

a

•

b

，|

a

+

b

|；利用向量的数量积的运算律将 (

a

+

c

)•(

b

+

c

)展开，利用三角函数的有界性求出取值范围．

解答：解：根据已知得：

a

•

b

=

1

2

且 |

a

-

b

| =1，
由于（

a

+

c

）（

b

+

c

）=

a

•

b

+

a

•

c

+

c

•

b

+

c

2=（

a

+

b

）•

c

+

1

2

+

c

2，
且（

a

+

c

）（

b

+

c

）=

1

2

，
∴-（

a

+

b

）•

c

=

c

2
设

a

+

b

与

c

的夹角为θ，
则（

a

+

b

）•

c

=|

a

+

b

||

c

|cosθ
故|

c

2|=-|

a

+

b

||

c

|cosθ
|

c

|=-|

a

+

b

|cosθ，
又∵（|

a

+

b

|）²=|

a

| 2+|

b

|  2+2

a

•

b

=3，
∴|

a

+

b

|=

3

∵-1≤cosθ≤1
∴则|

c

|取值范围[0，

3

]
故选B．

点评：本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、三角函数的有界性，是中档题．