Question

在△ABC中，B(10，0)，直线BC与圆Γ：x²＋(y－5)²＝25相切，切点为线段BC的中点．若△ABC的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A的坐标为       ．

 

Answer 1

【答案】

(0，15) 或 (－8，－1)

【解析】

试题分析：设BC的中点为D，设点A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），则由题意可得ΓD⊥BC，且D（）．故有圆心Γ（0，5）到直线AB的距离ΓD=r=5．

设BC的方程为y-0=k（x-10），即 kx-y-10k=0．则有，解得 k=0或 k=-．

当k=0时，有，当时，有，

解得，或.再有三角形的重心公式可得，由此可得

或

故点A的坐标为（0，15）或（-8，-1），

故答案为（0，15）或（-8，-1）．

考点：直线与圆的位置关系．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式、斜率公式、三角形的重心公式，属于中档题．