Question

已知函数y=f（x）=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

．
（1）设g（x）=f（x）-1，当k＞1时，试求函数g（x）的值域；
（2）若f（x）的最小值为-3，试求k的值；
（3）若对任意的实数x₁，x₂，x₃，存在f（x₁），f（x₂），f（x₃）为三边边长的三角形，试求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求出g（x），根据k＞1即可求出函数g（x）的值域；
（2）先将f（x）变成：f（x）=1+

k-1

2x+ 1 2x +1

，所以可设2x+

1

2x

+1=t，(t≥3)，则得到y=1+

k-1

t

，所以可讨论k：k＞1，k=1，k＜1，根据该函数的单调性或y的取值来求k；
（3）由该问的条件知：对任意的x₁，x₂，x₃∈R，都有f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃），所以只要使f（x₃）范围的右端点值小于等于f（x₁）+f（x₂）的左端点值，而f（x₃），f（x₁）+f（x₂）的范围由（2）可分三种情况求出，最后求这三种情况下的k的范围的并集即可．

解答： 解：（1）g（x）=

(k-1)2x

4x+2x+1

；
∵k＞1；
∴g（x）＞0；
∴g（x）的值域为（0，+∞）；
（2）f（x）=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

=1+

k-1

2x+ 1 2x +1

；
令2x+

1

2x

+1=t，（t≥3），则：y=1+

k-1

t

；
k＞1时，y∈(1，

k+2

3

]，无最小值，舍去；
k=1时，y=1，最小值不是-3，舍去；
k＜1时，y∈[

k+2

3

，1)，∴

k+2

3

=-3，k=-11；
（3）由题意知，对于任意x₁，x₂，x₃∈R，f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立；
由（2）得，①k＞1时，2＜f(x1)+f(x2)≤

2k+4

3

，1＜f(x3)≤

k+2

3

；
∴

k+2

3

≤2，k≤4，∴1＜k≤4；
②k=1时，f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，满足条件；
③k＜1时，

2k+4

3

≤f(x1)+f(x2)＜2，

k+2

3

≤f(x3)＜1；
∴1≤

2k+4

3

，k≥-

1

2

，∴-

1

2

≤k＜1；
∴综上得k的取值范围为[-

1

2

，4]．

点评：考查函数值域的概念及求法，换元法解决问题，反比例函数的单调性，以及三边长度满足什么条件即可构成三角形．