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设函数(n∈N*,a,b∈R).
(1)若a=b=1,求f3(x)在[0,2]上的最大值和最小值;
(2)若对任意x1,x2∈[-1,1],都有|f3(x1)-f3(x2)|≤1,求a的取值范围;
(3)若|f4(x)|在[-1,1]上的最大值为,求a,b的值.
【答案】分析:(1)把a,b的值代入函数解析式求出,求导后利用导函数的零点将(0,2)分段,由单调性判出极值点,求出极值,再求出端点值,则f3(x)在[0,2]上的最大值和最小值可求;
(2)根据对任意x1,x2∈[-1,1],都有|f3(x1)-f3(x2)|≤1,说明当x取两个特殊值-1和1时|f3(1)-f3(-1)|≤1成立,由此求出a的初步范围,然后把原函数f3(x)求导,得到导函数的两个零点为,再求出函数f3(x)在(-1,1)上的极大值和极小值,再由极大值和极小值差的绝对值小于等于1求出a的取值范围,和由|f3(1)-f3(-1)|≤1求出的a的范围取交集即可;
(3)由|f4(x)|在[-1,1]上的最大值为,则x取-1和1时的函数值都在之间,联立解出b的范围,再由x取0时的函数值也在之间,得到b的范围,两者结合即可求出b的值,把b的值代入x取-1和1时的式子,即可得到a的值.
解答:解:(1)由,所以当a=b=1时,
=-3(x2-1).
在(0,1)内,,在(1,2)内,
所以在(0,1)内,为增函数,在(1,2)内为减函数.
则f3(x)的极大值为f3(1)=3,由f3(0)=1,
所以函数在[0,2]上的最大值为f3(1)=3,最小值为f3(2)=-1;
(2)因为对任意x1,x2∈[-1,1],都有|f3(x1)-f3(x2)|≤1,
所以|f3(1)-f3(-1)|≤1,从而有|(-1+3a+b)-(1-3a+b)|=|6a-2|≤1,
所以
=-3(x2-a),
内f3(x)0,
所以f3(x)在内为减函数,
f3(x)在内为增函数,
只需,则
,解得:
所以a的取值范围是
(3)
由f4(x)在[-1,1]上的最大值为,则
所以,即
,即
①+②得,,又因为,所以,所以
代入①得:
代入②得:≤a≤0.
所以a=0.
综上知a,b的值分别为0,
点评:本题考查了利用导数研究函数的最值,考查了数学转化思想方法,解答此题的关键是特值化思想的应用,求具体参数的值时运用了“两边夹”的思想方法,属有一定难度题.
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32
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1
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3
+…+
sn
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设函数数学公式(n∈N*,a,b∈R).
(1)若a=b=1,求f3(x)在[0,2]上的最大值和最小值;
(2)若对任意x1,x2∈[-1,1],都有|f3(x1)-f3(x2)|≤1,求a的取值范围;
(3)若|f4(x)|在[-1,1]上的最大值为数学公式,求a,b的值.

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