Question

已知函数
（I）当a=1时,求函数f（x）的图象在点A（0，f（0）)处的切线方程；
（II）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）是否存在实数a∈(1,2)，使当x∈（0,1）时恒成立？若存在，求出实数a；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）a=1时,,        
于是f（0）=1,f′（0）=1,
所以函数f（x）的图象在点处的切线方程为y-1=-(x-0)
即x+y-1=0． 
（II）=，
∵，∴ 只需讨论的符号． 
i）当a＞2时，＞0，这时f′（x）＞0，所以函数f（x）在（－∞，+∞）上为增函数．
ii）当a= 2时，≥0，函数f（x）在（－∞，+∞）上为增函数
iii）当0＜a＜2时，令f′（x）= 0，解得，．当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）在，为增函数，f（x）在为减函数
（Ⅲ）当∈（1，2）时，∈（0，1）．
由（2）知在上是减函数，在上是增函数，
故当x∈（0，1）时，，所以
当x∈（0，1）时恒成立，等价于恒成立
当a∈（1，2）时，，
设g（t）=(1-t)e^t,t∈(0,1)，则，
表明g(t) 在（0，1）上单调递减，
于是可得g（t）∈(0,1)，即a∈（1，2）时恒成立，
因此，符合条件的实数a不存在.