Question

抛物线y²=2px，（p＞0）与直线y=x+1相切，抛物线的焦点为F，AB和CD为过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，中点分别为M和N．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：则直线MN必过定点P，并求出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y²=2px，（p＞0）与直线y=x+1相切，所以联立方程，组成的方程组中△=0，即可解出P的值．求出抛物线方程．
（2）欲证明直线MN必过定点P，只需求出含参数的直线MN的方程，观察是否过定点即可．设出A，B，M，N的坐标，用A，B坐标表示M，N坐标，求出直线MN方程，化为点斜式，可以发现直线必过点（3，0），所以命题得证．

解答：（1）由

y=x+1 y2=2px

得，y²-2py+2p=0
∵抛物线y²=2px，（p＞0）与直线y=x+1相切，∴△=0
解得，p=2，∴抛物线的方程为y²=4x
（2）证明：设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）
把直线AB：y=k（x-1）代入y²=4x，得
k²x²-（2k²+4）x+k²=0，∴x₃=

x1+x2

2

=1+

2

k2

，y₃=k（x₃-1）=

2

k

同理可得，x₄=1+2k²，y₄=-2k
∴k_MN=

y3-y4

x3-x4

=

k

1-k2

∴直线MN为y-

2

k

=

k

1-k2

（x-1-

2

k2

），即y=

k

1-k2

（x-3），过定点P（3，0）．

点评：本题主要考查了直线与抛物线相切的判断，以及直线过定点的判断．掌握它的判断方法．