Question

2．如图，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E．
（1）求证：PA•PB=PE•PO；
（2）若PC=4，CE=$\frac{12}{5}$，求圆O的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OC，则OC⊥PC，利用射影定理，切割线定理，即可证明：PA•PB=PE•PO；
（2）若PC=4，CE=$\frac{12}{5}$，求出PE，可得圆的半径，即可求圆O的面积．

解答 （1）证明：连接OC，则OC⊥PC，
∵CD⊥AB，
∴PC²=PE•PO，
∵PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，
∴PC²=PA•PB，
∴PA•PB=PE•PO；
（2）解：∵PC=4，CE=$\frac{12}{5}$，
∴PE=$\frac{16}{5}$，
∵PC²=PE•PO，
∴PO=5，
∴OE=$\frac{9}{5}$，
∴OC=3，
∴圆O的面积S=9π．

点评 本题考查射影定理，切割线定理，考查圆的面积，正确运用射影定理，切割线定理是关键．