Question

【题目】在平面直角坐标系中，以坐标原点为中心，以坐标轴为对称轴的椭圆C经过点M(2，1)，N(，-).

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)经过点M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆C相交于异于M点的A，B两点，求直线AB的斜率.

Answer 1

【答案】(1);(2)

【解析】

（1）设椭圆的方程为，将两点代入得到关于的方程组，解出方程组即可得椭圆的标准方程；

（2）设直线，，的斜率分别为，直线的方程为，倾斜角互补等同于，联立直线与椭圆的方程结合韦达定理，代入中化简可得，进而可得结果.

（1）设椭圆的方程为

∵点和在椭圆上

∴，解得

∴椭圆的方程为.

（2）∵点为椭圆上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，

∴直线，，的斜率存在，设它们的斜率分别为

设，，直线的方程为，

∴，

∴，

由，消去，得

由，得，

∴

∴

∴

∴

∴或，

∵点为椭圆上异于的两点

∴当时，直线的方程为，不合题意，舍去

∴直线的斜率为.