Question

已知正△ABC的边长为3,D、E分别是边BC上的三等分点〔如图(1)所示〕.沿AD、AE把△ABC折成三棱锥A—DEF,使B、C两点重合于点F〔如图(2)〕,且G是DE的中点.

(1)求证:DE⊥平面AGF;

(2)求二面角A-DE-F的大小;

(3)求点F到平面ADE的距离.

Answer 1

(1)证明:在△ADE中,AD=AE,G为DE中点,∴AG⊥DE.?

同理,在△FDE中,FG⊥DE.?

又∵FG∩AG=G,∴DE⊥面AGF.?

(2)解析：由(1)知同∠AGF即为所求二面角的平面角.AF=3,AG=,DG=,FD=1,FG=.?

cos∠AGF=.?

∴∠AGF=π-arccos.?

(3)解析：过F作FH⊥AG于H.?

∵DE⊥面AGF,DE面ADE,?

∴面AFG⊥面ADE.?

又∵交线为AG,?

∴FH⊥面ADE,AF=3,FG=,AG=.?

设HG=x,则FH²=AF²-AH²=FG²-GH²,即9-(+x)²=-x² x=.?

FH=.