Question

已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（4-2x）（a＞0，且a≠1）．
（Ⅰ）求函数f（x）+g（x）的定义域；
（Ⅱ）求使函数f（x）-g（x）的值为正数的x的取值范围．

Answer 1

解：（I）∵函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（4-2x）
要使函数f（x）+g（x）的解析式有意义
自变量x须满足
解得-1＜x＜2
故函数f（x）+g（x）的定义域为（-1，2）
（II）由f（x）-g（x）＞0，得f（x）＞g（x），即loga（x+1）＞loga（4-2x），①
当a＞1时，由①可得x+1＞4-2x，解得x＞1，又-1＜x＜2，
∴1＜x＜2；
当0＜a＜1时，由①可得x+1＜4-2x，解得x＜1，又-1＜x＜2，
∴-1＜x＜1．
综上所述：当a＞1时，x的取值范围是（1，2）；
当0＜a＜1时，x的取值范围是（-1，1）
分析：（I）分别把f（x）和g（x）的解析式代入到f（x）+g（x）中，根据负数和0没有对数得到x+1和4-2x都大于0，列出关于x的不等式组，求出不等式组的解集即为函数f（x）+g（x）的定义域；
（Ⅱ）f（x）-g（x）的值正数即为f（x）-g（x）大于0，即f（x）大于g（x），将f（x）和g（x）的解析式代入后，分a大于0小于1和a大于1两种情况由对数函数的单调性即可列出x的不等式，分别求出不等式的解集，即可得到相应满足题意的x的取值范围．
点评：本题考查的知识点是对数函数的定义域，对数函数的单调性，其中（I）的关键是根据使函数的解析式有意义的原则，构造关于x的不等式组，（II）的关键是，对底数进行分类讨论，结合对数函数的单调性，将问题转化为整式不等式．