Question

若a＞0，b＞0，且a+b=1，则(a+

1

a

)•(b+

1

b

)的最小值是（　　）

• A．4
• B．

  25

  4

• C．

  25

  2

• D．2

Answer 1

分析：把所求式子运算，然后利用a+b=1两边平方后代换部分式子，最后整理成ab+

2

ab

-2，再换元t=ab，T=t+

2

t

-2，利用导数证明函数在t∈(0，

1

4

]为减函数，从而求得最小值，即为所求．

解答：解：由题意知：T=(a+

1

a

)•(b+

1

b

)=ab+

b

a

+

a

b

+

1

ab

=

a2b2+b2 +a2+1

ab

，
若a＞0，b＞0，且a+b=1，又a²+b²=（a+b）²-2ab=1-2ab，
所以

a2b2+b2 +a2+1

ab

=

a2b2 -2ab+2

ab

=ab+

2

ab

-2，
令t=ab，因为a＞0，b＞0，1=a+b≥2

ab

，所以

ab

≤

1

2

，即0＜t≤

1

4

，
T=t+

2

t

-2，则当0＜t≤

1

4

，T′=1-

2

t2

＜0，所以T=t+

2

t

-2在t∈(0，

1

4

]是减函数，
所以T=t+

2

t

-2的最小值为T=

1

4

+

2

1 4

-2=

25

4

，
所以当a＞0，b＞0，且a+b=1，则(a+

1

a

)•(b+

1

b

)的最小值是

25

4

，
故选B．

点评：本题考查求分式的最值问题，通过换元把多变量转化为单变量的函数求最值问题，用到了用导数求函数单调性，本题的易错点是没有意识到基本不等式成立的条件“三相等”不具备，而错误利用基本不等式求最值，求最值是本题的易错点．