Question

9．已知曲线C的极坐标方程为ρ=$\sqrt{\frac{2}{{1+{{sin}^2}θ}}}$，过点P（1，0）的直线l交曲线C于A，B两点．
（1）将曲线C的极坐标方程的化为普通方程；
（2）求|PA|•|PB|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标方程的转化方法，可得结论；
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t$为参数），将$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$得（cos²α+2sin²α）t²+2tcosα-1=0，利用参数的几何意义，即可求|PA|•|PB|的取值范围．

解答 解：（1）由$ρ=\sqrt{\frac{2}{{1+{{sin}^2}θ}}}$得ρ²（1+sin²θ）=2，得曲线C的普通方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）由题意知，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t$为参数），将$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$得（cos²α+2sin²α）t²+2tcosα-1=0，
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，
则$|{PA}|•|{PB}|=|{{t_1}{t_2}}|=\frac{1}{{{{cos}^2}α+2{{sin}^2}α}}=\frac{1}{{1+{{sin}^2}α}}∈[{\frac{1}{2}，1}]$，
∴|PA|•|PB|的取值范围为$[{\frac{1}{2}，1}]$．

点评 本题考查极坐标方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．