Question

已知函数f（x）=2k²x+k，x∈[0，1]，函数g（x）=3x²-2（k²+k+1）x+5，x∈[-1，0]．当k=6时，对任意x₁∈[0，1]，是否存在x₂∈[-1，0]，g（x₂）=f（x₁）成立．若k=2呢？

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：把k=6分别代入两个函数解析式，求出f（x）在[0，1]上的值域，g（x）在[-1，0]上的值域，由f（x）在[0，1]上的值域是g（x）在[-1，0]上的值域的子集说明对任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈[-1，0]，g（x₂）=f（x₁）成立．同样的办法说明k=2时，对任意x₁∈[0，1]，不存在x₂∈[-1，0]，g（x₂）=f（x₁）成立．

解答： 解：当k=6时，f（x）=72x+6，
当x∈[0，1]时，f（x）∈[6，78]，
g（x）=3x²-2（k²+k+1）x+5=3x²-86x+5，
当x∈[-1，0]时，g（x）∈[5，94]，
∵[6，78]⊆[5，94]，
∴对任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈[-1，0]，g（x₂）=f（x₁）成立；
当k=2时，f（x）=8x+2，
当x∈[0，1]时，f（x）∈[2，10]，
g（x）=3x²-2（k²+k+1）x+5=3x²-14x+5，
当x∈[-1，0]时，g（x）∈[5，22]，
∵[6，78]?[5，94]，
∴对任意x₁∈[0，1]，不一定存在x₂∈[-1，0]，g（x₂）=f（x₁）成立．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，关键是把问题转化为两函数在不同定义域内的值域间的关系问题，是中档题．