Question

如图四边形EFGH为空间四面体A-BCD的一个截面，若截面为平行四边形．
（1）求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
（2）若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出EF∥HG，从而得到EF∥平面ABD，进而得到EF∥AB，由此能证明AB∥平面EFGH，同理CD平面EFGH．
（2）由空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形．

CF

CB

=

CE

CA

=

EF

AB

=k，则0＜k＜1，且

AE

AC

=

EH

CD

=1-k，四边形EFGH的周长=12-4k，即可得出结论．

解答： （1）证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG．
∵HG?平面ABD，EF不在平面ABC内，
∴EF∥平面ABD．…
∵EF?平面ABD，平面ABD∩平面ABC=AB，
∴EF∥AB．
∵EF?平面EFGH，AB不包含于平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH，
同理CD平面EFGH．
（2）解：∵空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形．

CF

CB

=

CE

CA

=

EF

AB

=k，则0＜k＜1，且

AE

AC

=

EH

CD

=1-k，
∴四边形EFGH的周长=12-4k，∴8＜四边形EFGH的周长＜12．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查四边形的周长求法，解题时要认真审题，注意空间相象力的培养，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．