Question

下列命题中，真命题的个数有（　　）
①函数y=2^-x是单调递减函数；  
②x₀是方程lnx+x=4的解，则x₀∈（2，3）；
③?x∈R，x2-x+

1

4

≥0；
④?a，b∈R，则“3^a＞3^b”是“log₃a＞log₃b”的充要条件．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：①函数y=2^-x是单调递减函数；②x₀是方程lnx+x=4的解，令f（x）=lnx+x-4，则f（1）=-3＜0，f（2）=ln2-2＜0，f（3）=ln3-1＞0，f（4）=ln4＞0．所以f（2）与f（3）异号．所以x₀∈（2，3）；③由x2-x+

1

4

=(x-

1

2

)2≥0，知?x∈R，x2-x+

1

4

≥0；④当a≤0，b≤0时，log₃a和log₃b不存在．

解答：解：①函数y=2^-x是单调递减函数，故①是真命题；
②x₀是方程lnx+x=4的解，令f（x）=lnx+x-4，
则f（1）=-3＜0，f（2）=ln2-2＜0，f（3）=ln3-1＞0，f（4）=ln4＞0．
所以f（2）与f（3）异号．所以x₀∈（2，3），故②正确；
③∵x2-x+

1

4

=(x-

1

2

)2≥0，∴?x∈R，x2-x+

1

4

≥0，故③成立；
④当a≤0，b≤0时，log₃a和log₃b不存在，故④不成立．
故选C．

点评：本题考查命题的真假判断及其应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．