Question

已知曲线C：4x²-y|y|=1．
（Ⅰ）若直线l：y=2x+m与曲线C只有一个公共点，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+1与曲线C恒有两个不同的交点A和B，且

OA

•

OB

＜

1

3

（其中O为原点），求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）分类讨论当y≥0时，曲线C表示双曲线的上半部分（包括与y轴的交点）．当y＜0时，曲线C：）表示椭圆的下半部分．因此曲线C由以上两部分构成，如图所示．双曲线的渐近线为y=±2x，直线l：y=2x+m与渐近线y=2x平行，且与曲线C只有一个公共点．把直线与曲线C的方程联立即可得出位置关系．
（II）直线l：y=kx+1与曲线C恒有两个不同的交点A和B，由题可得只能交双曲线上半部分于A和B两点．联立即可得到根与系数的关系，再利用数量积即可得出．

解答：解：（I）当y≥0时，曲线C：4x²-y|y|=1化为4x²-y²=1，即

x2

1 4

-y2=1（y≥0）表示双曲线的上半部分（包括与y轴的交点）．当y＜0时，曲线C：4x²-y|y|=1化为4x²+y²=1，即

x2

1 4

+y2=1（y＜0）表示椭圆的下半部分．因此曲线C由以上两部分构成，如图所示．
双曲线的渐近线为y=±2x，直线l：y=2x+m与渐近线y=2x平行，且与曲线C只有一个公共点，
联立

y=2x+m 4x2-y2=1

化为4mx+m²+1=0可得m≠0．可知此直线与曲线C的双曲线部分最多只能有一个交点．
联立

y=2x+m 4x2+y2=1

得8x²+4mx+m²-1=0，由△=0交点m=-

2

时直线与椭圆的下半部分相切．
通过对m分类讨论：m≥1，0≤m＜1，-1＜m＜0，-

2

＜m≤-1，m=-

2

，m＜-

2

．可得：

当m≥1时，直线与双曲线有一个交点； 当0≤m＜1时，直线只与椭圆有一个交点； 当-1＜m＜0时，直线与双曲线和椭圆各有一个交点； 当- 2 ＜m≤-1时，直线与椭圆有二个交点； 当m=- 2 时，直线只与椭圆有一个交点；

∴实数m的取值范围为m=-

2

或m≥0．
（II）直线l：y=kx+1与曲线C恒有两个不同的交点A和B，由题可得只能交双曲线上半部分于A和B两点．
联立l：y=kx+1与4x²-y²=1可得：（4-k²）x²-2kx-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题可得-2＜k＜2，

又y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1， 由 OA • OB ＜ 1 3 可得x1x2+y1y2＜ 1 3 ，解得k2＞1，

∴-2＜k＜-1或1＜k＜2．
∴实数k的取值范围是（-2，-1）∪（1，2）．

点评：本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线的位置关系、分类讨论、数量积运算等基础知识与基本技能方法，属于难题．