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【题目】已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组,参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》.活动共有四关,若四关都闯过,则闯关成功,否则落水失败.设男生闯过一至四关的概率依次是 ,女生闯过一至四关的概率依次是
(Ⅰ)求男生甲闯关失败的概率;
(Ⅱ)设X表示四人冲关小组闯关成功的人数,求随机变量X的分布列和期望.

【答案】解:(Ⅰ)记“男生甲闯关失败”为事件A,

则“男生甲闯关成功”为事件

∴P(A)=1﹣P(

=1﹣ × × ×

=1﹣

=

(Ⅱ)记“一位女生闯关成功”为事件B,

则P(B)= × × × =

随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4;

且P(X=0)= × =

P(X=1)= + =

P(X=3)= + =

P(X=4)= × =

P(X=2)=1﹣ =

∴X的分布列为:

X

0

1

2

3

4

P

∴数学期望为E(X)=0× +1× +2× +3× +4× =


【解析】(Ⅰ)利用对立事件计算“男生甲闯关失败”的概率;(Ⅱ)计算“一位女生闯关成功”的概率,得出变量X的所有可能取值,计算对应的概率值,写出X的分布列,计算数学期望值.
【考点精析】利用离散型随机变量及其分布列对题目进行判断即可得到答案,需要熟知在射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列.

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