Question

【题目】已知椭圆： 的左、右焦点分别为，，椭圆的长轴长与焦距之比为，过的直线与交于，两点.

（1）当的斜率为时，求的面积；

（2）当线段的垂直平分线在轴上的截距最小时，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）12（2）

【解析】

（1）结合椭圆性质，得到椭圆方程，联解直线与椭圆方程，结合，计算面积，即可。（2）设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用，建立关于k，m的式子，计算最值，即可。

解：（1）依题意，因，又，得，

所以椭圆的方程为，

设、，当时，直线：

将直线与椭圆方程联立，

消去得，，解得，，，

所以 .

（2）设直线的斜率为，由题意可知，

由，消去得，

恒成立，，

设线段的中点，

设线段的中点，

则，，

设线段的垂直平分线与轴的交点为，则，得.

，

整理得：， ，等号成立时.

故当截距最小为时，，此时直线的方程为.