Question

已知定义域为R的函数f(x)=

1-2x

a+2x+1

是奇函数．
（1）求a的值；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＜0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得函数的定义域是R是奇函数，把f（-1）=-f（1），代入可得a的值．
（2）由（1）可得 f(x)=

1-2x

2+2x+1

在它的定义域是R是减函数，且是奇函数，不等式化为f（mt²+1）＜f（mt-1），可得 mt²-mt+2＞0，分m=0和m≠0两种情况分别求出实数m的
取值范围．

解答：解：（1）由题意可得函数的定义域是R且函数是奇函数，把f（-1）=-f（1），代入可得：a=2．
（2）由（1）可得 f(x)=

1-2x

2+2x+1

在它的定义域是R是减函数，且是奇函数，则不等式 f（mt²+1）+f（1-mt）＜0 可化为：
f（mt²+1）＜-f（1-mt），即 f（mt²+1）＜f（mt-1），
∴mt²+1＞mt-1，mt²-mt+2＞0．-----（*）
①若m=0，（*）式对一切实数显然成立；
②若m≠0，则：m＞0且（-m）²-8m＜0，解得：0＜m＜8．
从而，实数m的取值范围是：0≤m＜8，故实数m的取值范围[0，8）．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．