Question

已知函数f（x）=-x²+2bx-b
（1）当b=2时，求函数y=f（x） 在[1，4]上的最值；
（2）若函数y=f（x） 在[1，4]上仅有一个零点，求b的取值范围；
（3）是否存在实数b，使得函数y=f（x） 在[1，+∞）上的最大值是2，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当b=2时，函数y=f（x）的图象为开口向下，对称轴为x=2的抛物线，故函数y=f（x） 在[1，2]上为增函数，在[2，4]上为减函数，由此判断出最值，求出即可；
（2）若函数y=f（x） 在[1，4]上仅有一个零点，则f（1）•f（4）≤0，由此构造关于b的不等式，解不等式可得b的取值范围；
（3）分b＜1时，和b≥1时，结合 二次函数的图象和性质分析出函数的最大值为2时，对应的b值，最后综合讨论结果，可得答案．

解答：解：f（x）=-x²+2bx-b=-（x-b）²-b+b²，的图象开口向下，对称轴为x=b的抛物线…（1分）
（1）当b=2时，f（x）=-x²+4x-2=-（x-2）²+2的图象开口向下，对称轴为x=2…（2分）
∴f（x）_max=f（2）=2，
f（x）_min=f（4）=-2…（4分）
（2）∵函数y=f（x） 在[1，4]上仅有一个零点
∴f（1）•f（4）≤0…（6分）（须验证端点是否成立与△=0的情况）
即（-1+b）（-16+7b）≤0
∴1≤b≤

16

7

∴b的取值范围是[1，

16

7

]…（7分）
（3）当b＜1时，y=f（x） 在[1，+∞）上是减函数，
f（x）_max=f（1）=b-1=2
解得b=3，不合要求…（9分）
当b≥1时，f(x)max=f(b)=b2-b=2即b2-b-2=0
解得b=2或b=-1（不合，舍去），
∴b=2…（11分）
综上所述，当b=2时，使得函数y=f（x） 在[1，+∞）上的最大值是2．…（12分）

点评：本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，函数的值域，函数的零点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．