【题目】如图(一),在直角梯形中,,,,是的中点,将沿折起,使点到达点的位置得到图(二),点为棱上的动点.
(1)当在何处时,平面平面,并证明;
(2)若,,证明:点到平面的距离等于点到平面的距离,并求出该距离.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)先判断出点为棱中点时,平面平面;再根据面面垂直的判定定理即可得出结论成立;
(2)先由(1)得到平面平面,且交线为,再过点作交的延长线于点,从而可得就是点到底面的距离,最后由,即可求出结果.
解:(1)当点为棱中点时,平面平面.
证明如下:
在图(一)的直角梯形中,,,,是的中点,
所以.
在图(二)中,有,,,平面,平面,
所以平面.
又平面,
所以.
又,所以.
由于,
为的中点,
所以.
又因为,平面,平面,
所以平面.
又平面,
所以平面平面.
(2)图(一)中,由及条件关系,
得,
由(1)的证明可知,在图(二)中有平面.
所以平面平面,且交线为,
所以过点作交的延长线于点,
由平面平面,可知平面,
所以就是点到底面的距离.
由知,
所以.
设点到平面的距离为,
由,
得 ,
即,
即得点到平面的距离等于点到平面距离,且为.
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【题目】如图,四棱锥的底面为菱形且∠ABC=120°,PA⊥底面ABCD,AB=1,PA=,E为PC的中点.
(1)求直线DE与平面PAC所成角的大小;
(2)求二面角E-AD-C平面角的正切值;
(3)在线段PC上是否存在一点M,使PC⊥平面MBD成立.如果存在,求出MC的长;如果不存在,请说明理由
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【题目】双曲线C:1(a>0,b>0)的左右焦点为F1,F2(|F1F2|=2c),以坐标原点O为圆心,以c为半径作圆A,圆A与双曲线C的一个交点为P,若三角形F1PF2的面积为a2,则C的离心率为_____.
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【题目】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马.如图所示,在阳马中,底面.
(1)若,斜梁与底面所成角为,求立柱的长(精确到);
(2)证明:四面体为鳖臑;
(3)若,,,为线段上一个动点,求面积的最小值.
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【题目】某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业,在一个开学季内,每售出1盒该产品获利润50元;未售出的产品,每盒亏损30元根据历史资料,得到开学季市场需求量的频率分布直方图,如图所示,该同学为这个开学季购进了160盒该产品,以单位:盒,表示这个开学季内的市场需求量,单位:元表示这个开学季内经销该产品的利润
根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的平均数和众数;
将y表示为x的函数;
根据直方图估计利润不少于4800元的概率.
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【题目】设是平面内互不平行的三个向量,,有下列命题:
①方程不可能有两个不同的实数解;
②方程有实数解的充要条件是;
③方程有唯一的实数解;
④方程没有实数解.
其中真命题有 .(写出所有真命题的序号)
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【题目】A地的天气预报显示,A地在今后的三天中,每一天有强浓雾的概率为,现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率,先利用计算器产生之间整数值的随机数,并用0,1,2,3,4,5,6表示没有强浓雾,用7,8,9表示有强浓雾,再以每3个随机数作为一组,代表三天的天气情况,产生了如下20组随机数:
402 978 191 925 273 842 812 479 569 683
231 357 394 027 506 588 730 113 537 779
则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为
A. B. C. D.
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