Question

5．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠B₁A₁A=∠C₁A₁A=60°，AA₁=AC=4，AB=2，P，Q分别为棱AA₁，AC的中点．
（1）在平面ABC内过点A作AM∥平面PQB₁交BC于点M，并写出作图步骤，但不要求证明；
（2）若侧面ACC₁A₁⊥侧面ABB₁A₁，求直线A₁C₁与平面PQB₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC中点M，连接AM，则AM∥平面PQB₁；
（2）作PN∥C₁A₁，则直线A₁C₁与平面PQB₁所成角=直线PN与平面PQB₁所成角，求出N到平面PQB₁的距离，即可求直线A₁C₁与平面PQB₁所成角的正弦值．

解答 解：（1）取BC中点M，连接AM，则AM∥平面PQB₁；
（2）作QO⊥平面ABB₁A₁，与A₁A延长线交于O，则AO=1，QO=$\sqrt{3}$，
OB₁=$\sqrt{25+4-2×5×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{19}$，∴QB₁=$\sqrt{22}$，
∵B₁P=2，PQ=2$\sqrt{3}$，
∴cos∠QPB₁=$\frac{12+4-22}{2×2\sqrt{3}×2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴sin∠QPB₁=$\frac{\sqrt{33}}{6}$，
∴${S}_{△PQ{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2×\frac{\sqrt{33}}{6}$=$\sqrt{11}$，
作PN∥C₁A₁，则直线A₁C₁与平面PQB₁所成角=直线PN与平面PQB₁所成角，
∵${S}_{△PQN}=\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，∴${V}_{{B}_{1}-PQN}$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×\sqrt{3}$=2，
设N到平面PQB₁的距离为h，则$\frac{1}{3}×\sqrt{11}h=2$，∴h=$\frac{3}{\sqrt{11}}$，
∴直线A₁C₁与平面PQB₁所成角的正弦值=$\frac{\frac{3}{\sqrt{11}}}{4}$=$\frac{3\sqrt{11}}{44}$．

点评 本题考查线面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．