Question

17．已知圆x²+y²-4x+3=0与双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的渐近线相切，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由于双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（ a＞0，b＞0）的渐近线与（x-2）²+y²=1相切，可得圆心（2，0）到渐近线的距离d=r，利用点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：取双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x，即bx-ay=0．
∵双曲线双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的渐近线与（x-2）²+y²=1相切，
∴圆心（2，0）到渐近线的距离d=r，
∴$\frac{2b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，化为2b=c，
两边平方得c²=4b²=4（c²-a²），化为3c²=4a²．
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选D．

点评 本题考查了双曲线的渐近线及其离心率、点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质扥个基础知识与基本技能方法，属于中档题．