Question

【题目】设函数f（x）=2017x+sin2017x，g（x）=log2017x+2017x ， 则（ ）
A.对于任意正实数x恒有f（x）≥g（x）
B.存在实数x0 ， 当x＞x0时，恒有f（x）＞g（x）
C.对于任意正实数x恒有f（x）≤g（x）
D.存在实数x0 ， 当x＞x0时，恒有f（x）＜g（x）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：设h（x）=f（x）﹣g（x）=2017x+sin2017x﹣log2017x﹣2017x，x＞0，

由h（1）=2017+sin20171﹣log20171﹣2017=sin20171＞0，

h（2）=2017×2+sin20172﹣log20172﹣20172＜0，

可得h（1）h（2）＜0，

且h′（x）=2017+2017sin2016xcosx﹣ ﹣2017xln2017＜0，

可得h（x）在（1，2）递减，

可得h（x）在（1，2）有一个零点，设为x0，

且当x＞x0时，h（x）＜h（x0）=0，即f（x）＜g（x），

所以答案是：D．

【考点精析】通过灵活运用函数的最值及其几何意义，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值即可以解答此题．