Question

（2012•西城区一模）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．
（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；
（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；
（Ⅲ）求比赛局数的分布列．

Answer 1

分析：（I）先由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率，甲以4比1获胜，根据独立重复试验公式公式，列出算式，得到结果．
（II）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B．B包括乙以4：2获胜和乙以4：3获胜，根据独立重复试验公式列出算式，得到结果．
（III）比赛结束时比赛的局数为X，则X的可能取值为4，5，6，7，根据独立重复试验公式计算出各自的概率即可得到分布列．

解答：解：（Ⅰ）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是

1

2

． …（1分）
记“甲以4比1获胜”为事件A，
则P(A)=

C

3 4

(

1

2

)3(

1

2

)4-3

1

2

=

1

8

．                               …（4分）
（Ⅱ）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B．
因为，乙以4比2获胜的概率为P1=

C

3 5

(

1

2

)3(

1

2

)5-3

1

2

=

5

32

，…（6分）
乙以4比3获胜的概率为P2=

C

3 6

(

1

2

)3(

1

2

)6-3

1

2

=

5

32

，…（7分）
所以 P(B)=P1+P2=

5

16

．                                    …（8分）
（Ⅲ）设比赛的局数为X，则X的可能取值为4，5，6，7．
P(X=4)=2

C

4 4

(

1

2

)4=

1

8

，…（9分）
P(X=5)=2

C

3 4

(

1

2

)3(

1

2

)4-3

1

2

=

1

4

，…（10分）
P(X=6)=2

C

3 5

(

1

2

)3(

1

2

)5-2•

1

2

=

5

16

，…（11分）P(X=7)=2

C

3 6

(

1

2

)3(

1

2

)6-3•

1

2

=

5

16

．                           …（12分）
比赛局数的分布列为：

X	4	5	6	7
P	1 8	1 4	5 16	5 16

（13分）

点评：本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识．