Question

【题目】已知函数 ，实数a＞0．
（Ⅰ）若a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x＞0时，不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=ln（1+x）﹣ ，f′（x）= ﹣ = ．（x＞﹣1）． ∴函数f（x）的单增区间为（0，+∞）；单减区间为（﹣1，0）．
（Ⅱ）函数 ，实数a＞0．f（0）=0．（x＞0）．
f′（x）= ﹣
= ．
令g（x）=（1+x）a﹣（1+x）+ax，g（0）=0．
a≤0时，可得：g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴f（x）＜f（0）=0，满足条件．
g′（x）=a（1+x）a﹣1+a，令x=0，则g′（0）=2a﹣1．
当0＜a 时，g′（x）≤0，函数g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴f（x）＜f（0）=0，满足条件．
a 时，存在x0＞0，使得g′（x0）=0，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，x0）上单调递增，g（x）＞g（0）．
从而f（x）在（0，x0）上单调递增，f（x）＞f（0）=0，不满足条件，舍去．
综上可得：a ．
即a的最大值为：
【解析】（Ⅰ）a=2时，f（x）=ln（1+x）﹣ ，f′（x）= ．（x＞﹣1）．即可得出单调区间．（Ⅱ）函数 ，实数a＞0．f（0）=0．（x＞0）．可得f′（x）= ．令g（x）=（1+x）a﹣（1+x）+ax，g（0）=0．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．