Question

已知函数f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）设函数，其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中函数f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．由偶函数的定义，构造一个关于k的方程，解方程即可求出k的值；
（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，即方程log₂（4^x+1）-x=在（，+∞）有且只有一解，即方程在上只有一解，利用换元法，将方程转化为整式方程后，分类讨论后，即可得到a的取值范围．
解答：解：（1）∵函数f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数
∴f（-x）=log₂（4^-x+1）-kx=f（x）=log₂（4^x+1）+kx恒成立
即log₂（4^x+1）-2x-kx=log₂（4^x+1）+kx恒成立
解得k=-1
（2）∵a＞0
∴函数的定义域为（，+∞）
即满足
函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，
∴方程log₂（4^x+1）-x=在（，+∞）有且只有一解
即：方程在上只有一解
令2^x=t，则，因而等价于关于t的方程（*）在上只有一解
当a=1时，解得，不合题意；
当0＜a＜1时，记，其图象的对称轴
∴函数在（0，+∞）上递减，而h（0）=-1
∴方程（*）在无解
当a＞1时，记，其图象的对称轴
所以，只需，即，此恒成立
∴此时a的范围为a＞1
综上所述，所求a的取值范围为a＞1．
点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，偶函数，其中根据偶函数的定义求出k值，进而得到函数f（x）的解析式，是解答的关键．