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【题目】定义在上的函数单调递增,,若对任意,存在,使得成立,则称上的“追逐函数”.若,则下列四个命题:①上的“追逐函数”;②若上的“追逐函数”,则;③上的“追逐函数”;④当时,存在,使得上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

根据4个命题,依次求出M,解方程求得x1x2,运用函数的单调性和特殊值法,判断是否存在x1x2,即可得到结论.

对于①,易得M=1,k>1,有21=k

即为log2k+1),

k=100时,log2k+1),

即不存在

对于②,,得m=M=1,只需检验m=1时,是否符合题意,

k1,有21+lnk

即为ek1

即有ek1ke2k2

x1时,xe2x2的导数为12e2x20

即有xe2x﹣2,则存在;∴m=1满足题意

对于③,易得M1k1,有22k

即为

k=4,不存在x2

对于④,由题意

时,存在,取t=m+,此时,且k>,

2k

即为,令gk==,k>, ∴

gk)在()单调递减,∴gk<g)=,又t=m+, ∴g()=0,

gk<0,∴<

fx)在[1,+∞)上的“追逐函数”有②④

故选:B

练习册系列答案
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【题目】已知两直线l1axby40l2(a1)xyb0.求分别满足下列条件的ab的值.

(1)直线l1过点(3,-1),并且直线l1l2垂直;

(2)直线l1与直线l2平行,并且坐标原点到l1l2的距离相等.

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【题目】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.分形的外表结构极为复杂,但其内部却是有规律可寻的.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法来得到一系列图形,如图1,线段的长度为a,在线段上取两个点,使得,以为一边在线段的上方做一个正六边形,然后去掉线段,得到图2中的图形;对图2中的最上方的线段作相同的操作,得到图3中的图形;依此类推,我们就得到了以下一系列图形:

记第个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为,现给出有关数列的四个命题:

①数列是等比数列;

②数列是递增数列;

③存在最小的正数,使得对任意的正整数 ,都有

④存在最大的正数,使得对任意的正整数,都有

其中真命题的序号是________________(请写出所有真命题的序号).

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【题目】为整数,若对任意的,不等式恒成立,则的最大值是__________

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【题目】已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,为椭圆短轴的一个端点,为椭圆的右焦点,线段的延长线与椭圆相交于点,且.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)设直线与椭圆相交于两点,为坐标原点,若直线的斜率之积为,求的取值范围.

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【题目】某中学在全校范围内举办了一场“中国诗词大会”的比赛,规定初赛测试成绩不小于160分的学生进入决赛阶段比赛.现有200名学生参加测试,并将所有测试成绩统计如下表:

分数段

频数

频率

6

0.03

0.38

100

0.5

6

0.03

合计

200

1

(1)计算的值;

(2)现利用分层抽样的方法从进入决赛的学生中选择6人,再从选出的6人中选2人做进一步的研究,求选择的2人中至少有1人的分数在的概率.

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【题目】在平面直角坐标系中,对于直线和点,记,若,则称点,被直线l分隔,若曲线C与直线l没有公共点,且曲线C上存在点,被直线l分隔,则称直线l为曲线C的一条分隔线.

1)求证:点被直线分隔;

2)若直线是曲线的分隔线,求实数的取值范围;

3)动点M到点的距离与到y轴的距离之积为1,设点M的轨迹为E,求E的方程,并证明y轴为曲线E的分隔线.

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【题目】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )

A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏

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【题目】某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题,规则如下:

①每位参加者记分器的初始分均为10分,答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分,答错任一题减2分;

②每回答一题,记分器显示累计分数,当累计分数小于8分时,答题结束,淘汰出局;当累计分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足14分时,答题结束,淘汰出局;

③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答,直至答题结束.

假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为,且各题回答正确与否相互之间没有影响.

(1)求甲同学能进入下一轮的概率;

(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求ξ的分布列和数学期望Εξ.

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