Question

如图，已知椭圆C：的左、右顶点为A、B，离心率为，直线x-y+l=0经过椭圆C的上顶点，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求线段MN长度的最小值；
（Ⅲ）当线段MN长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点P，使得△PAS的面积为l？若存在，确定点P的个数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意（0，b）在直线x-y+1=0上，代入解得b．再利用，b²+c²=a²，解得a，c即可．
（II）设直线AS的斜率为k（k＞0），则直线AS：y=k（x+2），与联立解得M，把直线y=k（x+2）与椭圆方程联立即可解得S，进而得到直线BS的方程，即可得出点N的坐标即|MN|，利用基本不等式的性质即可得出最小值；
（III）利用（II）可得k及点S的坐标，可得|AS|，可得AS方程为y=x+2，及P在与AS平行的直线y=x+m上．利用点到直线的距离公式及三角形的面积公式可得m，把直线y=x+m与椭圆的方程联立即可得出交点P的坐标．
解答：解：（I）由题意（0，b）在直线x-y+1=0上，代入解得b=1．
又∵，b²+c²=a²，解得a=2，．
∴椭圆C的方程为．
（II）由（I）A（-2，0），B（2，0）．
设直线AS的斜率为k（k＞0），则直线AS：y=k（x+2），与联立解得M．
由，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．
∴，∴．
把x_S代入y=k（x+2）得，即S．
∴k_BS=．
∴直线BS的方程为，∴，

∴|MN|=|y_N-y_M|==，当且仅当k=1时取等号．
（III）由（II）可知：k=1时线段MN取得最小值，此时，=．
可得AS方程为y=x+2，P在与AS平行的直线y=x+m上．
∴点P到AS的距离等于两平行线距离，∴△ASP的面积为1．
∴=1，
∴，解得或．
又由，得5x²+8mx+4m²-4=0，
△=（8m）2-4×5（4m²-4）=16（5-m²），
验证可知：当时，．
∴P点存在，有两个．
点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立得到判别式及根与系数的关系、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．