Question

已知函数为常数）．
（I）若函数f（x）在x=1和x=3处取得极值，试求p，q的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，求证：方程f（x）=1有三个不同的实数根；
（Ⅲ）若函数f （x）在（一∞，x₁）和（x₂，+∞）单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减，又x₂-x₁＞l，且x₁＞a，试比较a²+pa+q与x₁的大小．

Answer 1

解：（I）对函数f（x）求导数，得f'（x）=x²+（p-1）x+q
由题意，得x=1和x=3是方程x²+（p-1）x+q=0的两个实数根，则
解之得p=-3，q=3．
经检验可得p=-3，q=3符合题意．
（II）由（I）得f（x）=x³-2x²+3x，设g（x）=f（x）-1=x³-2x²+3x-1
则g'（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
当x＜1或x＞3时，g'（x）＞0；当1＜x＜3时，g'（x）＜0
∴函数g（（x）在区间（-∞，1）和（3，+∞）上是增函数；在区间（1，3）上是减函数
由此可得g（1）是g（x）的极大值，而g（3）是g（x）的极小值
∵g（1）=＞0，g（3）=-1＜0，
∴结合g（0）=-1＜0，g（4）=＞0，可得g（x）=0在区间（0，1）、（1，3）、（3，4）上分别有一个零点
由以上证明过程，可得方程f（x）=1有三个不同的实数根；
（III）由题意，得x₁、x₂为函数的两个极值点．
即得x₁、x₂为方程x²+（p-1）x+q=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=1-p，x₁x₂=q
由已知x₂＞x₁＞a，得x₁-a＞0且x₂-a＞0
而x²+（p-1）x+q=（x-x₁）（x-x₂）
则a²+pa+q-a=a²+（p-1）a+q=（a-x₁）（a-x₂）＞0
∴a²+pa+q-x₁=a²+（p-1）a+q+a-x₁=（a-x₁）（a+1-x₂）
∵x₂-x₁＞l，x₁＞a，得x₂＞l+x₁＞a+l，a+1-x₂＜0
∴a²+pa+q-x₁＞0，可得a²+pa+q＞x₁
分析：（I）由函数的极值与导数的关系，得x=1和x=3是方程x²+（p-1）x+q=0的两个实数根，利用根与系数的关系建立关于p、q的方程组，解之即可得到p、q的值；
（II）结合（I）的条件，给出g（x）=f（x）-1=x³-2x²+3x-1，利用导数讨论g（x）的单调性，得g（x）的极大值g（1）=＞0，而极小值g（3）=-1＜0．由此可得函数y=g（x）在R上有三个零点，即可证出方程f（x）=1有三个不同的实数根；
（III）根据题意，得x₁、x₂为方程f'（x）=0即x²+（p-1）x+q=0的两个实数根，得到x²+（p-1）x+q=（x-x₁）（x-x₂），从这个等式出发，采用构造法可得出a²+pa+q-x₁=（a-x₁）（a+1-x₂），再讨论所得式子的正负，即可证出a²+pa+q＞x₁．
点评：本题给出多项式函数，在已知其极值点的情况下求参数的值，并讨论关于x的方程的根个数．着重考查了多项式函数根的存在性及根的个数判断和利用导数研究函数的极值等知识点，属于中档题．