Question

3．设函数f（x）=cos²x+asinx-$\frac{a}{4}$-$\frac{1}{2}$．
（1）用a表示f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值M（a）；
（2）当M（a）=$\frac{1}{4}$时，求a的值，并对此a值求f（x）的最大值；
（3）问a取何值时，方程f（x）=（1+a）sinx在[0，π）上有两解？

Answer 1

分析 （1）用二倍角公式对f（x）化简得f（x）=-sin²x+asinx+$\frac{2-a}{4}$，设sinx=t，则函数g（t）是开口向下，对称轴为t=$\frac{a}{2}$的抛物线，根据二次函数的性质，对a进行讨论得出答案．
（2）M（a）=$\frac{1}{4}$代入（1）中的M（a）的表达式即可得出结果；
（3）若f（x）=（1+a）sinx在[0，π）上有两解，即t²+t-$\frac{2-a}{4}$=0在[0，1]上有两解，故$\left\{\begin{array}{l}1+（2-a）＞0\\-\frac{2-a}{4}≥0\end{array}\right.$，解得答案．

解答 解：（1）f（x）=cos²x+asinx-$\frac{a}{4}$-$\frac{1}{2}$=-sin²x+asinx+$\frac{2-a}{4}$，
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$
∴0≤sinx≤1
令sinx=t，则g（t）=-t²+at+$\frac{2-a}{4}$，t∈[0，1]
则函数g（t）是开口向下，对称轴为t=$\frac{a}{2}$的抛物线，
当$\frac{a}{2}$≥$\frac{1}{2}$，即a≥1时，M（a）=f（0）=$\frac{1}{2}-\frac{a}{4}$，
当$\frac{a}{2}$＜$\frac{1}{2}$，即a＜1时，M（a）=f（1）=$\frac{3a}{4}-\frac{1}{2}$，
∴M（a）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{3a}{4}-\frac{1}{2}，a＜1\\ \frac{1}{2}-\frac{a}{4}，a≥1\end{array}\right.$．
（2）当$\frac{a}{2}$≥$\frac{1}{2}$，即a≥1时，M（a）=$\frac{1}{2}-\frac{a}{4}$=$\frac{1}{4}$，解得：a=1；
当$\frac{a}{2}$＜$\frac{1}{2}$，即a＜1时，M（a）=$\frac{3a}{4}-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，解得：a=1（舍去）；
故a=1．
此时f（x）=g（t）=-t²+t+$\frac{1}{4}$，t∈[0，1]，
当t=$\frac{1}{2}$时，函数取最大值$\frac{1}{2}$；
（3）若f（x）=（1+a）sinx在[0，π）上有两解，
即sin²x+sinx-$\frac{2-a}{4}$=0在[0，π）上有两解，
即t²+t-$\frac{2-a}{4}$=0在[0，1]上有两解，
故$\left\{\begin{array}{l}1+（2-a）＞0\\-\frac{2-a}{4}≥0\end{array}\right.$，
解得：a∈[2，3）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用和二次函数的性质．在二次函数的性质的使用的时候要特别注意对称轴的位置．