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6.已知函数f(x)=$\frac{1}{2}$x2-2alnx+(a-2)x,a∈R
(1)当a=1时,求函数f(x)的最小值;
(2)讨论函数f(x)的单调性.

分析 (1)显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),利用函数的单调性来求f(x)的最小值.
(2)求出函数的导数,分母为正,分子结合二次函数的性质,找出函数值为正值、负值的区间,得出函数f(x)的单调区间.

解答 解:(1)显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),
当a=1时,f′(x)=$\frac{(x-2)(x+1)}{x}$,
∴当x∈(0,2)时,f'(x)<0,x∈(2,+∞),f'(x)>0,
∴f(x)在x=2时取得最小值,其最小值为 f(2)=-2ln2;
(2)∵f′(x)=x-$\frac{2a}{x}$+(a-2)=$\frac{(x-2)(x+a)}{x}$,
∴①a>0时,令f′(x)>0,解得:x>2,令f′(x)<0,解得:0<x<2,
故f(x)在(0,2)递减,在(2,+∞)递增;
②当-2<a≤0时,
若x∈(0,-a),f′(x)>0,f(x)为增函数,
   x∈(-a,2),f′(x)<0,f(x)为减函数,
  x∈(2,+∞),f′(x)>0,f(x)为增函数,
③当a=-2时,x∈(0,+∞),f′(x)>0,f(x)为增函数,
④当a<-2时,x∈(0,2),f′(x)>0,f(x)为增函数,
  x∈(2,-a),f′(x)<0,f(x)为减函数,
  x∈(-a,+∞),f′(x)>0,f(x)为增函数.

点评 本题考查函数与导数,利用导数研究函数的单调性属于中档、常规题.涉及到了分类讨论的思想方法.

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