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已知函数f(x)=
ax
x2+b
,在x=1处取得极值2.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)m满足什么条件时,区间(m,2m+1)为函数f(x)的单调增区间?
(Ⅲ)设直线l为曲线f(x)=
ax
x2+b
的切线,求直线l的斜率的取值范围.
分析:(Ⅰ)先求函数f(x)的导数,由函数在x=1处取得极值,知当x=1时导数等于0,又因为极值为2,所以当x=2时函数值等于2,这样就可求出a,b的值.
(Ⅱ)要使区间(m,2m+1)为函数f(x)的单调增区间,则区间(m,2m+1)为函数f(x)的增区间的子区间,先利用导数,求出函数f(x)的单调增区间,再比较(m,2m+1)区间端点与函数f(x)的单调增区间区间端点的大小即可.
(Ⅲ)因为曲线的切线的斜率就是函数在切点处的导数,所以要求切线斜率的范围,就是求曲线在切点处的导数的范围.求导,在借助二次函数求出范围即可.
解答:解:(Ⅰ)已知函数f(x)=
ax
x2+b
,∴f′(x)=
a(x2+b)-ax(2x)
(x2+b)2

又函数f(x)在x=1处取得极值2,∴
f′(1)=0
f(1)=2
a(1+b)-2a=0
a
1+b
=2
a=4
b=1.

当a=4,b=1,∴f′(x)=
4(x2+1)-4x(2x)
(x2+1)2
=
4(1-x2)
(x2+1)2

当-1<x<1时,f'(x)>0,x>1时,f'(x)<0,∴f(x)在x=1处取得极值.∴f(x)=
4x
x2+1

(Ⅱ)由f′(x)=
4(x2+1)-4x(2x)
(x2+1)2
=0⇒x=±1

x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 极小值-2 极大值2
所以f(x)=
4x
x2+1
的单调增区间为[-1,1].
若(m,2m+1)为函数f(x)的单调增区间,则有
m≥-1
2m+1≤1
2m+1>m
解得-1<m≤0.
即m∈(-1,0]时,(m,2m+1)为函数f(x)的单调增区间.
(Ⅲ)∵f(x)=
4x
x2+1
,∴f′(x)=
4(x2+1)-4x(2x)
(x2+1)2

设切点为P(x0,y0),则直线l的斜率为k=f′(x0)=
4(x02+1)-8x02
(x02+1)2
=4[
2
(x02+1)2
-
1
x02+1
]

1
x02+1
=t,  t∈(0,  1]
,则直线l的斜率k=4(2t2-t),t∈(0,1],∴k∈[-
1
2
,  4]
点评:本题考查了导数应用求极值,单调区间,以及导数的几何意义的应用.
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1
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,若f(x)为奇函数,则a=(  )
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1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函数f(x)的单调区间;
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已知函数f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
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